Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 887

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln(\ln(\ln x))

Ответ:При

x>e

y'=\frac{1}{x\ln x\ln(\ln x)}

Решение

Идея

Чтобы все три логарифма были определены, необходимо

\ln(\ln x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \ln x>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>e

Дифференцируем последовательно, начиная с внешнего логарифма:

\begin{aligned} y'&=\frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot\frac{1}{\ln x}\cdot\frac1x=\\ &=\frac{1}{x\ln x\ln(\ln x)}\end{aligned}