Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 920

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 920

y=arccos⁡1xy=\arccos\frac1x
Ответ:y′=1∣x∣x2−1,x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)y'=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}},
\qquad
x\in(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)

Решение

Проверка

Условие существования арккосинуса имеет вид∣1x∣⩽1⟺∣x∣⩾1\left|\frac1x\right|\leqslant1
\quad\Longleftrightarrow\quad
|x|\geqslant1На внутренних промежутках области определения, то есть при
x<−1x<-1 или x>1x>1,y′=−−1x21−1x2=1∣x∣x2−1\begin{aligned}
y'
&=-\frac{-\frac1{x^2}}
{\sqrt{1-\frac1{x^2}}}
=\frac1{|x|\sqrt{x^2-1}}
\end{aligned}При x=±1x=\pm1 формула производной неприменима, поэтому исследуем
односторонние разностные отношения. При x→1+x\to1^+ положим
x=1/cos⁡tx=1/\cos t, где t→0+t\to0^+. Тогда y=ty=t, иy(x)−y(1)x−1=tcos⁡t1−cos⁡t⟶+∞.\frac{y(x)-y(1)}{x-1}
=\frac{t\cos t}{1-\cos t}
\longrightarrow+\infty.При x→−1−x\to-1^- положим x=−1/cos⁡tx=-1/\cos t, где t→0+t\to0^+.
Тогда y=π−ty=\pi-t, поэтомуy(x)−y(−1)x+1=tcos⁡t1−cos⁡t⟶+∞.\frac{y(x)-y(-1)}{x+1}
=\frac{t\cos t}{1-\cos t}
\longrightarrow+\infty.Следовательно, в точках x=±1x=\pm1 конечных односторонних
производных нет, и эти точки не входят в область определения
производной.
Демидович № 920 — решение и ответ