Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 875

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 875

y=sin⁡[cos⁡2(tg⁡3x)]y=\sin\bigl[\cos^2(\operatorname{tg}^3x)\bigr]
Ответ:y′=−3tg⁡2x(1+tg⁡2x)sin⁡(2tg⁡3x)cos⁡(cos⁡2(tg⁡3x))\displaystyle y'=-3\operatorname{tg}^2x\left(1+\operatorname{tg}^2x\right)
\sin(2\operatorname{tg}^3x)\cos\bigl(\cos^2(\operatorname{tg}^3x)\bigr)
при x≠π2+πk\displaystyle x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z

Решение

Идея

Положим u=tg⁡3xu=\operatorname{tg}^3x. Сначала отметим, что
(cos⁡2u)′=2cos⁡u(−sin⁡u)=−2sin⁡ucos⁡u=−sin⁡2u(\cos^2u)'=2\cos u(-\sin u)
=-2\sin u\cos u
=-\sin2uПоследовательно применяем правило сложной функции:y′=cos⁡(cos⁡2u)⋅(−sin⁡2u)⋅3tg⁡2x(1+tg⁡2x)==−3tg⁡2x(1+tg⁡2x)sin⁡(2tg⁡3x)cos⁡(cos⁡2(tg⁡3x))\begin{aligned}
y'&=\cos(\cos^2u)\cdot\bigl(-\sin2u\bigr)
\cdot3\operatorname{tg}^2x\left(1+\operatorname{tg}^2x\right)=\\
&=-3\operatorname{tg}^2x\left(1+\operatorname{tg}^2x\right)
\sin(2\operatorname{tg}^3x)\cos\bigl(\cos^2(\operatorname{tg}^3x)\bigr)
\end{aligned}Исходная функция определена приx≠π2+πkk∈Zx\ne\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb Z
Демидович № 875 — решение и ответ