Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 910

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\ln\left[ \frac1x+\ln\left(\frac1x+\ln\frac1x\right) \right]

Ответ:При

u=\frac1x, \qquad v=u+\ln u, \qquad w=u+\ln v

имеем

y'=-\frac{v+x+1}{x^2vw}

где

x>0

v>0

w>0

Решение

Идея

Для последовательного применения правила производной сложной функции
введём обозначения

Проверка

u=\frac1x, \qquad v=u+\ln u, \qquad w=u+\ln v

Тогда

y=\ln w

. Исходная функция определена при условиях

x>0, \qquad v>0, \qquad w>0

Вычисляем производные изнутри наружу:

\begin{aligned} u'&=-\frac1{x^2}\\ v'&=u'\left(1+\frac1u\right) =-\frac{1+x}{x^2}\\ w'&=u'+\frac{v'}v =-\frac1{x^2}-\frac{1+x}{x^2v}=\\ &=-\frac{v+x+1}{x^2v}\end{aligned}

Следовательно,

y'=\frac{w'}w=-\frac{v+x+1}{x^2vw}