Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 883

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=e^x+e^{e^x}+e^{e^{e^x}}

Ответ:

y'=e^x+e^{x+e^x}+e^{x+e^x+e^{e^x}}

Решение

Проверка

Введём последовательные обозначения

u=e^x \qquad v=e^u \qquad w=e^v

Тогда

y=u+v+w

и по правилу дифференцирования сложной функции

u'=u \qquad v'=vu \qquad w'=wvu

Следовательно,

\begin{aligned} y'&=u+vu+wvu=\\ &=e^x+e^{e^x}e^x+e^{e^{e^x}}e^{e^x}e^x\end{aligned}