Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 897

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=x\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) -2\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+2x

Ответ:Для всех

x\in\mathbb R

y'=\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Решение

Снова положим

L=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \qquad s=\sqrt{1+x^2}

Тогда

L'=\frac1s \qquad s'=\frac xs

Функция определена на всей числовой прямой. Применяем правило
производной произведения к первым двум слагаемым:

\begin{aligned} y'&=L^2+2xLL'-2(s'L+sL')+2=\\ &=L^2+\frac{2xL}{s} -2\left(\frac{xL}{s}+1\right)+2=\\ &=L^2 =\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\end{aligned}