Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 897

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 897

y=xln⁡2(x+1+x2)−21+x2ln⁡(x+1+x2)+2xy=x\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
-2\sqrt{1+x^2}\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+2x
Ответ:Для всех x∈Rx\in\mathbb Ry′=ln⁡2(x+1+x2)y'=\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Решение

Снова положимL=ln⁡(x+1+x2)s=1+x2L=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
\qquad
s=\sqrt{1+x^2}ТогдаL′=1ss′=xsL'=\frac1s
\qquad
s'=\frac xsФункция определена на всей числовой прямой. Применяем правило
производной произведения к первым двум слагаемым:y′=L2+2xLL′−2(s′L+sL′)+2==L2+2xLs−2(xLs+1)+2==L2=ln⁡2(x+1+x2)\begin{aligned}
y'&=L^2+2xLL'-2(s'L+sL')+2=\\
&=L^2+\frac{2xL}{s}
-2\left(\frac{xL}{s}+1\right)+2=\\
&=L^2
=\ln^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)
\end{aligned}