Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1

Демидович § 1. Производная явной функции

Условия, ответы и подробные решения задач 821–1033

Задачи 821–1033

213 из 213 с разбором

Приращения, смысл и определение производной

821–833
Определить приращение Δx\Delta x аргумента xx и соответствующее приращение
Δy\Delta y функции

Задача 821

y=lg⁡xy=\lg xесли xx изменяется от 11 до 10001000.

Задача 822

y=1x2y=\frac1{x^2}если xx изменяется от 0,010{,}01 до 0,0010{,}001.

Задача 823

Переменная xx получает приращение Δx\Delta x. Определить приращение
Δy\Delta y, если:

а) y=ax+by=ax+b;

б) y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c;

в) y=axy=a^x.

Задача 824

Доказать, что

а) Δ[f(x)+g(x)]=Δf(x)+Δg(x)\Delta[f(x)+g(x)]=\Delta f(x)+\Delta g(x);

б) Δ[f(x)g(x)]=g(x+Δx) Δf(x)+f(x) Δg(x)\Delta[f(x)g(x)]
=g(x+\Delta x)\,\Delta f(x)+f(x)\,\Delta g(x).

Задача 825

Через точки A(2,4)A(2,4) и A′(2+Δx,4+Δy)A'(2+\Delta x,4+\Delta y) кривойy=x2y=x^2проведена секущая AA′AA'. Найти угловой коэффициент этой секущей, если:

а) Δx=1\Delta x=1;

б) Δx=0,1\Delta x=0{,}1;

в) Δx=0,01\Delta x=0{,}01;

г) Δx\Delta x произвольно мало.

Чему равен угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке AA?

Задача 826

Отрезок 1⩽x⩽1+h1\leqslant x\leqslant1+h оси OxOx с помощью функцииy=x3y=x^3отображается на ось OyOy. Определить средний коэффициент растяжения и
произвести численный расчёт, если:

а) h=0,1h=0{,}1;

б) h=0,01h=0{,}01;

в) h=0,001h=0{,}001.

Чему равен коэффициент растяжения при этом отображении в точке x=1x=1?

Задача 827

Закон движения точки по оси OxOx даётся формулойx=10t+5t2x=10t+5t^2где tt — время в секундах и xx — расстояние в метрах. Найти среднюю
скорость движения за промежуток времени20⩽t⩽20+Δt20\leqslant t\leqslant20+\Delta tи выполнить численный расчёт, если:

а) Δt=1\Delta t=1;

б) Δt=0,1\Delta t=0{,}1;

в) Δt=0,01\Delta t=0{,}01.

Чему равна скорость движения в момент времени t=20t=20?

Задача 828

Исходя из определения производной, непосредственно найти производные
следующих функций:

а) x2x^2;

б) x3x^3;

в) 1x\dfrac1x;

г) x\sqrt{x};

д) x3\sqrt[3]{x};

е) tg⁡x\operatorname{tg} x;

ж) ctg⁡x\operatorname{ctg} x;

з) arcsin⁡x\arcsin x;

и) arccos⁡x\arccos x;

к) arctg⁡x\operatorname{arctg} x.

Задача 829

Найти f′(1)f'(1), f′(2)f'(2) и f′(3)f'(3), еслиf(x)=(x−1)(x−2)2(x−3)3f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3

Задача 830

Найти f′(2)f'(2), еслиf(x)=x2sin⁡(x−2)f(x)=x^2\sin(x-2)

Задача 831

Найти f′(1)f'(1), еслиf(x)=x+(x−1)arcsin⁡xx+1f(x)=x+(x-1)\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}

Задача 832

Найтиlim⁡x→af(x)−f(a)x−a\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}если функция f(x)f(x) дифференцируема в точке aa.

Задача 833

Доказать, что если функция f(x)f(x) дифференцируема и nn — натуральное
число, тоlim⁡n→∞n[f(x+1n)−f(x)]=f′(x)\lim_{n\to\infty}
n\left[
f\left(x+\frac1n\right)-f(x)
\right]
=f'(x)Обратно, если для функции f(x)f(x) существует указанный предел, то можно ли
утверждать, что эта функция имеет производную? Рассмотреть пример функции
Дирихле.

Основные правила дифференцирования

834–844

Задача 834

Для функцииy=2+x−x2y=2+x-x^2найти производную и вычислитьy′(0),y′ ⁣(12),y′(1),y′(−10)y'(0),\qquad
y'\!\left(\frac12\right),\qquad
y'(1),\qquad
y'(-10)

Задача 835

Для функцииy=x33+x22−2xy=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2xнайти, при каких значениях xx:а) y′(x)=0;б) y′(x)=−2;в) y′(x)=10\text{а) }y'(x)=0;\qquad
\text{б) }y'(x)=-2;\qquad
\text{в) }y'(x)=10
Найти производную функции

Задача 836

y=a5+5a3x2−x5y=a^5+5a^3x^2-x^5

Задача 837

y=ax+ba+by=\frac{ax+b}{a+b}

Задача 838

Для функцииy=(x−a)(x−b)y=(x-a)(x-b)найти y′ ⁣(12)y'\!\left(\frac12\right).
Найти производную функции

Задача 839

y=(x+1)(x+2)2(x+3)3y=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3

Задача 840

y=(xsin⁡α+cos⁡α)(xcos⁡α−sin⁡α)y=(x\sin\alpha+\cos\alpha)
(x\cos\alpha-\sin\alpha)

Задача 841

y=(1+nxm)(1+mxn)y=(1+nx^m)(1+mx^n)

Задача 842

Найти производные функций:а) y=(1−x)(1−x2)2(1−x3)3,б) y=(5+2x)10(3−4x)20\text{а) }y=(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^3,
\qquad
\text{б) }y=(5+2x)^{10}(3-4x)^{20}

Задача 843

Найти производную функцииy=1x+2x2+3x3y=\frac1x+\frac2{x^2}+\frac3{x^3}

Задача 844

Доказать формулу(ax+bcx+d)′=∣abcd∣(cx+d)2\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)'
=\frac{\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}}{(cx+d)^2}

Производные алгебраических функций

845–861
Найти производную функции:

Задача 845

y=2x1−x2y=\frac{2x}{1-x^2}

Задача 846

y=1+x−x21−x+x2y=\frac{1+x-x^2}{1-x+x^2}

Задача 847

y=x(1−x)2(1+x)3y=\frac{x}{(1-x)^2(1+x)^3}

Задача 848

y=(2−x2)(3−x3)(1−x)2y=\frac{(2-x^2)(3-x^3)}{(1-x)^2}

Задача 849

y=(1−x)p(1+x)qy=\frac{(1-x)^p}{(1+x)^q}

Задача 850

y=xp(1−x)q1+xy=\frac{x^p(1-x)^q}{1+x}

Задача 851

y=x+x+x3y=x+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}

Задача 852

y=1x+1x+1x3y=\frac1x+\frac1{\sqrt{x}}+\frac1{\sqrt[3]{x}}

Задача 853

y=x23−2xy=\sqrt[3]{x^2}-\frac2{\sqrt{x}}
Найти производную функции

Задача 854

y=x1+x2y=x\sqrt{1+x^2}

Задача 855

y=(1+x)2+x2 3+x33y=(1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{3+x^3}

Задача 856

y=(1−x)m(1+x)nm+ny=\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n}

Задача 857

y=xa2−x2y=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}

Задача 858

y=1+x31−x33y=\sqrt[3]{\frac{1+x^3}{1-x^3}}

Задача 859

y=11+x2(x+1+x2)y=\frac1{\sqrt{1+x^2}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}

Задача 860

y=x+x+xy=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}

Задача 861

y=1+1+x333y=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}}

Производные тригонометрических функций

862–875

Задача 862

y=cos⁡(2x)−2sin⁡xy=\cos(2x)-2\sin x

Задача 863

y=(2−x2)cos⁡x+2xsin⁡xy=(2-x^2)\cos x+2x\sin x

Задача 864

y=sin⁡(cos⁡2x)⋅cos⁡(sin⁡2x)y=\sin(\cos^2x)\cdot\cos(\sin^2x)

Задача 865

y=sin⁡nxcos⁡(nx)y=\sin^n x\cos(nx)

Задача 866

y=sin⁡[sin⁡(sin⁡x)]y=\sin[\sin(\sin x)]

Задача 867

y=sin⁡2xsin⁡(x2)y=\frac{\sin^2x}{\sin(x^2)}

Задача 868

y=cos⁡x2sin⁡2xy=\frac{\cos x}{2\sin^2x}

Задача 869

y=1cos⁡nxy=\frac1{\cos^n x}

Задача 870

y=sin⁡x−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡xy=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}

Задачи 1–50 из 213