Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 2

Демидович § 2. Производные обратной функции, функции, заданной параметрически, и функции, заданной в неявном виде

Условия, ответы и подробные решения задач 1034–1054

Задачи 1034–1054

21 из 21 с разбором

Производные обратных и параметрических функций

1034–1047
Показать, что существует однозначная функция y=y(x)y=y(x), определяемая уравнением

Задача 1034

y3+3y=xy^3+3y=xи найти её производную yx′y'_x.

Задача 1035

y−εsin⁡y=x,0≤ε<1y-\varepsilon\sin y=x,
\qquad 0\le\varepsilon<1и найти производную yx′y'_x.

Задача 1036

Определить области существования обратных функций x=x(y)x=x(y) и найти их производные, если:а) y=x+ln⁡x(x>0);б) y=x+ex\text{а) }y=x+\ln x\quad(x>0);
\qquad
\text{б) }y=x+e^xв) y=sh⁡x;г) y=th⁡x\text{в) }y=\operatorname{sh}x;
\qquad
\text{г) }y=\operatorname{th}x

Задача 1037

Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций x=x(y)x=x(y),
найти их производные и построить графики, если:а) y=2x2−x4;б) y=x21+x2;в) y=2e−x−e−2x\text{а) }y=2x^2-x^4;
\qquad
\text{б) }y=\frac{x^2}{1+x^2};
\qquad
\text{в) }y=2e^{-x}-e^{-2x}

Задача 1038

Построить эскиз графика функции y=y(x)y=y(x) и найти производную yx′(x)y'_x(x),
еслиx=−1+2t−t2y=2−3t+t3x=-1+2t-t^2
\qquad
y=2-3t+t^3Чему равна yx′(x)y'_x(x) при x=0x=0 и при x=−1x=-1? В какой точке M(x,y)M(x,y)
производная yx′(x)=0y'_x(x)=0?
Найти производную yx′y'_x (постоянные параметры положительны), если:

Задача 1039

x=1−t3,y=1−t3x=\sqrt[3]{1-\sqrt t},
\qquad
y=\sqrt{1-\sqrt[3]t}

Задача 1040

x=sin⁡2t,y=cos⁡2tx=\sin^2t,
\qquad
y=\cos^2t

Задача 1041

x=acos⁡t,y=bsin⁡tx=a\cos t,
\qquad
y=b\sin t

Задача 1042

x=ach⁡t,y=bsh⁡tx=a\operatorname{ch}t,
\qquad
y=b\operatorname{sh}t

Задача 1043

x=acos⁡3t,y=asin⁡3tx=a\cos^3t,
\qquad
y=a\sin^3t

Задача 1044

x=a(t−sin⁡t),y=a(1−cos⁡t)x=a(t-\sin t),
\qquad
y=a(1-\cos t)

Задача 1045

x=e2tcos⁡2t,y=e2tsin⁡2tx=e^{2t}\cos^2t,
\qquad
y=e^{2t}\sin^2t

Задача 1046

x=arcsin⁡t1+t2,y=arccos⁡11+t2x=\arcsin\frac{t}{\sqrt{1+t^2}},
\qquad
y=\arccos\frac1{\sqrt{1+t^2}}

Задача 1047

Показать, что функция y=y(x)y=y(x), определяемая системой уравненийx=2t+∣t∣,y=5t2+4t∣t∣x=2t+|t|,
\qquad
y=5t^2+4t|t|дифференцируема при t=0t=0, но её производная в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.

Неявное и полярное дифференцирование

1048–1054
Найти производную yx′y'_x от следующих функций, заданных неявно:

Задача 1048

x2+2xy−y2=2xx^2+2xy-y^2=2xЧему равно y′y' при x=2x=2 и y=4y=4 и при x=2x=2 и y=0y=0?

Задача 1049

y2=2pxy^2=2px(парабола).

Задача 1050

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(эллипс).

Задача 1051

x+y=a\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}(парабола).

Задача 1052

x23+y23=a23(астроида)x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}
\qquad
\text{(астроида)}

Задача 1053

arctg⁡yx=ln⁡x2+y2\operatorname{arctg}\frac yx=\ln\sqrt{x^2+y^2}(логарифмическая спираль).

Задача 1054

Найти yx′y'_x, если:а) r=aφ(спираль Архимеда)\text{а) }r=a\varphi\quad\text{(спираль Архимеда)}б) r=a(1+cos⁡φ)(кардиоида)\text{б) }r=a(1+\cos\varphi)\quad\text{(кардиоида)}в) r=aemφ(логарифмическая спираль)\text{в) }r=ae^{m\varphi}\quad\text{(логарифмическая спираль)}гдеr=x2+y2,φ=arctg⁡yxr=\sqrt{x^2+y^2},
\qquad
\varphi=\operatorname{arctg}\frac yx— полярные координаты.