Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 896

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=x\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)-\sqrt{1+x^2}

Опирается на задачу 895

Ответ:Для всех

x\in\mathbb R

имеем

\displaystyle y'=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

Решение

Идея

Положим

L=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)

s=\sqrt{1+x^2}

. При

x\in\mathbb R

имеем

L'=\dfrac1s

по задаче №895 и

s'=\dfrac xs

. Поэтому

\begin{aligned} y'&=L+xL'-s'=\\ &=L+\frac xs-\frac xs=\\ &=L =\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\end{aligned}