Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 893

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 893

y=11−kln⁡1+x1−x+k1−kln⁡1+xk1−xk0<k<1y=\frac1{1-k}\ln\frac{1+x}{1-x}
+\frac{\sqrt{k}}{1-k}
\ln\frac{1+x\sqrt{k}}{1-x\sqrt{k}}
\qquad 0<k<1
Ответ:При −1<x<1-1<x<1 имеем
y′=2(1+k−2kx2)(1−k)(1−x2)(1−kx2)\displaystyle
y'=\frac{2(1+k-2kx^2)}
{(1-k)(1-x^2)(1-kx^2)}

Решение

Идея

Из первого логарифма получаем −1<x<1-1<x<1. Второй логарифм требует
−1k<x<1k-\dfrac1{\sqrt{k}}<x<\dfrac1{\sqrt{k}}. Поскольку 0<k<10<k<1,
второй промежуток шире первого. Следовательно, D=(−1,1)D=(-1,1).
Используем формулу
(ln⁡1+ax1−ax)′=2a1−a2x2\left(\ln\frac{1+ax}{1-ax}\right)'
=\frac{2a}{1-a^2x^2}При a=1a=1 и a=ka=\sqrt{k} получаемy′=2(1−k)(1−x2)+2k(1−k)(1−kx2)==21−k(11−x2+k1−kx2)==2(1+k−2kx2)(1−k)(1−x2)(1−kx2)\begin{aligned}
y'&=\frac{2}{(1-k)(1-x^2)}
+\frac{2k}{(1-k)(1-kx^2)}=\\
&=\frac{2}{1-k}\left(
\frac{1}{1-x^2}+\frac{k}{1-kx^2}
\right)=\\
&=\frac{2(1+k-2kx^2)}
{(1-k)(1-x^2)(1-kx^2)}
\end{aligned}
Демидович № 893 — решение и ответ