Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 871

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 871

y=tg⁡x2−ctg⁡x2y=\operatorname{tg}\frac x2-\operatorname{ctg}\frac x2
Ответ:y′=2sin⁡2xx≠πk,k∈Zy'=\frac2{\sin^2x}
\qquad
x\ne\pi k,\quad k\in\mathbb Z

Решение

Сначала упростим функцию. Положим u=x/2u=x/2. Тогдаtg⁡u−ctg⁡u=sin⁡2u−cos⁡2usin⁡ucos⁡u==−cos⁡2u12sin⁡2u=−2ctg⁡2u\begin{aligned}
\operatorname{tg} u-\operatorname{ctg} u
&=\frac{\sin^2u-\cos^2u}{\sin u\cos u}=\\
&=-\frac{\cos2u}{\tfrac12\sin2u}
=-2\operatorname{ctg}2u
\end{aligned}Поскольку 2u=x2u=x, получаемy=−2ctg⁡xy=-2\operatorname{ctg} xСледовательно,y′=−2(−1sin⁡2x)=2sin⁡2xy'=-2\left(-\frac1{\sin^2x}\right)
=\frac2{\sin^2x}Исходная функция определена при x≠πkx\ne\pi k, k∈Zk\in\mathbb Z.