Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 889

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 889

y=12ln⁡(1+x)−14ln⁡(1+x2)−12(1+x)y=\frac12\ln(1+x)-\frac14\ln(1+x^2)
-\frac1{2(1+x)}
Ответ:При x>−1x>-1 имеем
y′=1(1+x)2(1+x2)\displaystyle y'=\frac{1}{(1+x)^2(1+x^2)}

Решение

Идея

Первый логарифм задаёт условие 1+x>01+x>0. Остальные выражения при этом
также определены, поэтому D=(−1,+∞)D=(-1,+\infty).
Применяем формулу производной логарифма и правило производной сложной
функции:
y′=12(1+x)−x2(1+x2)+12(1+x)2==(x+2)(1+x2)−x(1+x)22(1+x)2(1+x2)==x+2+x3+2x2−x−2x2−x32(1+x)2(1+x2)==22(1+x)2(1+x2)==1(1+x)2(1+x2)\begin{aligned}
y'&=\frac{1}{2(1+x)}
-\frac{x}{2(1+x^2)}
+\frac{1}{2(1+x)^2}=\\
&=\frac{(x+2)(1+x^2)-x(1+x)^2}
{2(1+x)^2(1+x^2)}=\\
&=\frac{x+2+x^3+2x^2-x-2x^2-x^3}
{2(1+x)^2(1+x^2)}=\\
&=\frac{2}{2(1+x)^2(1+x^2)}=\\
&=\frac{1}{(1+x)^2(1+x^2)}
\end{aligned}
Демидович № 889 — решение и ответ