Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 895

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)

Ответ:Для всех

x\in\mathbb R

имеем

\displaystyle y'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}

Решение

Идея

Положим

s=\sqrt{x^2+1}

. Так как

s>|x|

, функция определена
при всех

x\in\mathbb R

. Учитывая

s'=\dfrac{x}{s}

, получаем

\begin{aligned} y'&=\frac{1+\dfrac{x}{s}}{x+s} =\frac{s+x}{s(x+s)}=\\ &=\frac1s =\frac1{\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}