Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 841

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=(1+nx^m)(1+mx^n)

Ответ:

y'=mn\bigl(x^{m-1}+x^{n-1} +(m+n)x^{m+n-1}\bigr)

Решение

Идея

Пусть

m,n\in\{1,2,3,\ldots\}

. Тогда функция определена и
дифференцируема при всех

x\in\mathbb R

. По правилу произведения

Проверка

\begin{aligned} y'&=nmx^{m-1}(1+mx^n) +mnx^{n-1}(1+nx^m)=\\ &=mn\bigl(x^{m-1}+x^{n-1} +(m+n)x^{m+n-1}\bigr)\end{aligned}

Так как

m,n\ge1

, полученная формула верна также при

x=0