Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 841

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 841

y=(1+nxm)(1+mxn)y=(1+nx^m)(1+mx^n)
Ответ:y′=mn(xm−1+xn−1+(m+n)xm+n−1)y'=mn\bigl(x^{m-1}+x^{n-1}
+(m+n)x^{m+n-1}\bigr)

Решение

Параметры m,nm,n постоянны. Для произвольных действительных m,nm,n проведём вычисление при x>0x>0, где обе степенные функции дифференцируемы. Если m,nm,n — положительные целые числа, исходная функция является многочленом и расчёт верен на всей прямой. По правилу произведения
y′=nmxm−1(1+mxn)+mnxn−1(1+nxm)==mn(xm−1+xn−1+(m+n)xm+n−1)\begin{aligned}
y'&=nmx^{m-1}(1+mx^n)
+mnx^{n-1}(1+nx^m)=\\
&=mn\bigl(x^{m-1}+x^{n-1}
+(m+n)x^{m+n-1}\bigr)
\end{aligned}Если m,nm,n — положительные целые числа, формула является тождеством для многочленов и действует также при x=0x=0.
Демидович № 841 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика