Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции
Демидович — задача 828
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.
Задача 828
Исходя из определения производной, непосредственно найти производные
следующих функций:
а) x2;
б) x3;
в) x1;
г) x;
д) 3x;
е) tgx;
ж) ctgx;
з) arcsinx;
и) arccosx;
к) arctgx.
следующих функций:
а) x2;
б) x3;
в) x1;
г) x;
д) 3x;
е) tgx;
ж) ctgx;
з) arcsinx;
и) arccosx;
к) arctgx.
Ответ:{(x2)′=2x}
{(x3)′=3x2}
{(x1)′=−x21, x=0}
{(x)′=2x1 при x>0; при x=0 конечной производной нет}
{(3x)′=33x21 при x=0; при x=0 конечной производной нет}
{(tgx)′=cos2x1, cosx=0}
{(ctgx)′=−sin2x1, sinx=0}
{(arcsinx)′=1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
{(arccosx)′=−1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
{(arctgx)′=1+x21, x∈R}
{(x3)′=3x2}
{(x1)′=−x21, x=0}
{(x)′=2x1 при x>0; при x=0 конечной производной нет}
{(3x)′=33x21 при x=0; при x=0 конечной производной нет}
{(tgx)′=cos2x1, cosx=0}
{(ctgx)′=−sin2x1, sinx=0}
{(arcsinx)′=1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
{(arccosx)′=−1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
{(arctgx)′=1+x21, x∈R}
Решение
Идея
Во всех пунктах используем определениеf′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)а для тригонометрических функций — основной пределu→0limusinu=1- 1
Пункт а)
Для f(x)=x2f′(x)=h→0limh(x+h)2−x2==h→0lim(2x+h)=2x - 2
Пункт б)
Для f(x)=x3f′(x)=h→0limh(x+h)3−x3==h→0lim(3x2+3xh+h2)=3x2 - 3
Пункт в)
Для f(x)=x1, где x=0, при достаточно малых h
также выполнено x+h=0. Тогдаf′(x)=h→0limhx+h1−x1==h→0limx(x+h)−1=−x21 - 4
Пункт г)
Для f(x)=x и x>0 рационализируем числитель:f′(x)=h→0limhx+h−x==h→0limx+h+x1=2x1В точке x=0 возможен только правый подход, причёмh0+h−0=h1⟶+∞при h→0+Поэтому конечной производной в точке x=0 нет. - 5
Пункт д)
Пустьu=3x+h,v=3xТогдаh=u3−v3=(u−v)(u2+uv+v2)и при x=0f′(x)=h→0limu3−v3u−v==h→0limu2+uv+v21=33x21При x=0h3h−0=3h21⟶+∞при h→0поэтому конечной производной нет. - 6
Пункт е)
Для f(x)=tgx, где cosx=0, при достаточно малых h
также выполнено cos(x+h)=0. Используем формулу разности тангенсов:f′(x)=h→0limhtg(x+h)−tgx==h→0limhcos(x+h)cosxsinh=cos2x1 - 7
Пункт ж)
Для f(x)=ctgx, где sinx=0, при достаточно малых h
также выполнено sin(x+h)=0. Аналогично получаемf′(x)=h→0limhctg(x+h)−ctgx==h→0limhsin(x+h)sinx−sinh=−sin2x1 - 8
Пункт з)
Пустьu=arcsin(x+h),v=arcsinxПри ∣x∣<1 и h→0 имеем u→v, причёмh=sinu−sinv==2cos2u+vsin2u−vСледовательно,hu−v=2sin2u−vu−vcos2u+v1⟶⟶cosv1=1−x21Здесь v∈(−2π,2π), поэтому cosv>0.
На концах области определения возможны только односторонние приращения.
При x=1 имеемh→0−limharcsin(1+h)−arcsin1=+∞а при x=−1 имеемh→0+limharcsin(−1+h)−arcsin(−1)=+∞Следовательно, в точках x=±1 конечной производной нет. - 9
Пункт и)
Пустьu=arccos(x+h),v=arccosxПри ∣x∣<1h=cosu−cosv==−2sin2u+vsin2u−vПоэтомуhu−v=−2sin2u−vu−vsin2u+v1⟶⟶−sinv1=−1−x21Здесь v∈(0,π), поэтому sinv>0. На концах области определенияh→0−limharccos(1+h)−arccos1=−∞h→0+limharccos(−1+h)−arccos(−1)=−∞Следовательно, в точках x=±1 конечной производной нет. - 10
Пункт к)
Пустьu=arctg(x+h),v=arctgxТогдаh=tgu−tgv=cosucosvsin(u−v)Отсюдаhu−v=sin(u−v)u−vcosucosv⟶⟶cos2v=1+tg2v1=1+x21