Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции
Демидович — задача 828
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.
Задача 828
Исходя из определения производной, непосредственно найти производные
следующих функций:
а) x2;
б) x3;
в) x1;
г) x;
д) 3x;
е) tgx;
ж) ctgx;
з) arcsinx;
и) arccosx;
к) arctgx.
следующих функций:
а) x2;
б) x3;
в) x1;
г) x;
д) 3x;
е) tgx;
ж) ctgx;
з) arcsinx;
и) arccosx;
к) arctgx.
Ответ:а) {(x2)′=2x}
б) {(x3)′=3x2}
в) {(x1)′=−x21, x=0}
г) {(x)′=2x1 при x>0; при x=0 конечной производной нет}
д) {(3x)′=33x21 при x=0; при x=0 конечной производной нет}
е) {(tgx)′=cos2x1, cosx=0}
ж) {(ctgx)′=−sin2x1, sinx=0}
з) {(arcsinx)′=1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
и) {(arccosx)′=−1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
к) {(arctgx)′=1+x21, x∈R}
б) {(x3)′=3x2}
в) {(x1)′=−x21, x=0}
г) {(x)′=2x1 при x>0; при x=0 конечной производной нет}
д) {(3x)′=33x21 при x=0; при x=0 конечной производной нет}
е) {(tgx)′=cos2x1, cosx=0}
ж) {(ctgx)′=−sin2x1, sinx=0}
з) {(arcsinx)′=1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
и) {(arccosx)′=−1−x21 при ∣x∣<1; при x=±1 конечной производной нет}
к) {(arctgx)′=1+x21, x∈R}
Решение
Во всех пунктах используем определениеf′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)а для тригонометрических функций — основной пределu→0limusinu=1
также выполнено x+h=0. Тогдаf′(x)=h→0limhx+h1−x1==h→0limx(x+h)−1=−x21
также выполнено cos(x+h)=0. Используем формулу разности тангенсов:f′(x)=h→0limhtg(x+h)−tgx==h→0limhcos(x+h)cosxsinh=cos2x1
также выполнено sin(x+h)=0. Аналогично получаемf′(x)=h→0limhctg(x+h)−ctgx==h→0limhsin(x+h)sinx−sinh=−sin2x1
Покажем отдельно, откуда берётся бесконечный наклон на концах. При x=1 положим 1+h=cost, где t→0+; тогда h=cost−1<0 и arcsin(1+h)=π/2−t. Поэтому разностное отношение равноcost−1−t=2sin2(t/2)t=t2(sin(t/2)t/2)2⟶+∞.При x=−1 берём −1+h=−cost. Здесь h=1−cost>0 и приращение арксинуса равно t, так что получается то же отношение t/(1−cost). Таким образом, при x=1 имеемh→0−limharcsin(1+h)−arcsin1=+∞а при x=−1 имеемh→0+limharcsin(−1+h)−arcsin(−1)=+∞Следовательно, в точках x=±1 конечной производной нет.
Пункт а)
Для f(x)=x2f′(x)=h→0limh(x+h)2−x2==h→0lim(2x+h)=2xПункт б)
Для f(x)=x3f′(x)=h→0limh(x+h)3−x3==h→0lim(3x2+3xh+h2)=3x2Пункт в)
Для f(x)=x1, где x=0, при достаточно малых hтакже выполнено x+h=0. Тогдаf′(x)=h→0limhx+h1−x1==h→0limx(x+h)−1=−x21
Пункт г)
Для f(x)=x и x>0 рационализируем числитель:f′(x)=h→0limhx+h−x==h→0limx+h+x1=2x1В точке x=0 возможен только правый подход, причёмh0+h−0=h1⟶+∞при h→0+Поэтому конечной производной в точке x=0 нет.Пункт д)
Пустьu=3x+h,v=3xТогдаh=u3−v3=(u−v)(u2+uv+v2)и при x=0f′(x)=h→0limu3−v3u−v==h→0limu2+uv+v21=33x21При x=0h3h−0=3h21⟶+∞при h→0поэтому конечной производной нет.Пункт е)
Для f(x)=tgx, где cosx=0, при достаточно малых hтакже выполнено cos(x+h)=0. Используем формулу разности тангенсов:f′(x)=h→0limhtg(x+h)−tgx==h→0limhcos(x+h)cosxsinh=cos2x1
Пункт ж)
Для f(x)=ctgx, где sinx=0, при достаточно малых hтакже выполнено sin(x+h)=0. Аналогично получаемf′(x)=h→0limhctg(x+h)−ctgx==h→0limhsin(x+h)sinx−sinh=−sin2x1
Пункт з)
Пустьu=arcsin(x+h),v=arcsinxПри ∣x∣<1 и h→0 имеем u→v, причёмh=sinu−sinv==2cos2u+vsin2u−vСледовательно,hu−v=2sin2u−vu−vcos2u+v1⟶⟶cosv1=1−x21Здесь v∈(−2π,2π), поэтому cosv>0.Покажем отдельно, откуда берётся бесконечный наклон на концах. При x=1 положим 1+h=cost, где t→0+; тогда h=cost−1<0 и arcsin(1+h)=π/2−t. Поэтому разностное отношение равноcost−1−t=2sin2(t/2)t=t2(sin(t/2)t/2)2⟶+∞.При x=−1 берём −1+h=−cost. Здесь h=1−cost>0 и приращение арксинуса равно t, так что получается то же отношение t/(1−cost). Таким образом, при x=1 имеемh→0−limharcsin(1+h)−arcsin1=+∞а при x=−1 имеемh→0+limharcsin(−1+h)−arcsin(−1)=+∞Следовательно, в точках x=±1 конечной производной нет.