Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 863

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 863

y=(2−x2)cos⁡x+2xsin⁡xy=(2-x^2)\cos x+2x\sin x
Ответ:y′=x2sin⁡x,x∈Ry'=x^2\sin x,
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Область определения функции — R\mathbb R. Дифференцируем оба произведения:
y′=−2xcos⁡x−(2−x2)sin⁡x+2sin⁡x+2xcos⁡x=x2sin⁡x\begin{aligned}
y'&=-2x\cos x-(2-x^2)\sin x
+2\sin x+2x\cos x
=x^2\sin x
\end{aligned}Слагаемые −2xcos⁡x-2x\cos x и 2xcos⁡x2x\cos x взаимно уничтожаются. Слагаемые
−2sin⁡x-2\sin x и 2sin⁡x2\sin x также взаимно уничтожаются.
Демидович № 863 — решение и ответ