Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 867

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac{\sin^2x}{\sin(x^2)}

Ответ:

y'=\frac{\sin(2x)\sin(x^2) -2x\sin^2x\cos(x^2)}{\sin^2(x^2)}, \qquad x\in D_y

Решение

Идея

Знаменатель не должен обращаться в нуль. Поскольку

x^2\geqslant0

, получаем

\sin(x^2)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0 \quad\text{или}\quad x=\pm\sqrt{k\pi},\qquad k\in\{1,2,3,\ldots\}

Поэтому

D_y=\mathbb R\setminus \left(\{0\}\cup \{\pm\sqrt{k\pi}:k\in\{1,2,3,\ldots\}\}\right)

Используем правило производной частного и учитываем, что

\left(\sin(x^2)\right)'=2x\cos(x^2)

\begin{aligned} y'&=\frac{2\sin x\cos x\sin(x^2) -2x\sin^2x\cos(x^2)}{\sin^2(x^2)}=\\ &=\frac{\sin(2x)\sin(x^2) -2x\sin^2x\cos(x^2)}{\sin^2(x^2)}\end{aligned}