Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 848

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=\frac{(2-x^2)(3-x^3)}{(1-x)^2}

Ответ:При

x\ne1

y'=\frac{12-6x-6x^2+2x^3+5x^4-3x^5}{(1-x)^3}

Решение

Область определения:

D=\mathbb R\setminus\{1\}

Положим

u=(2-x^2)(3-x^3)

Тогда

\begin{aligned} u'&=-2x(3-x^3)-3x^2(2-x^2)=\\ &=-6x-6x^2+5x^4\end{aligned}

Поскольку

y=u(1-x)^{-2}

, имеем

\begin{aligned} y'&=u'(1-x)^{-2}+2u(1-x)^{-3}=\\ &=\frac{u'(1-x)+2u}{(1-x)^3}=\\ &=\frac{12-6x-6x^2+2x^3+5x^4-3x^5}{(1-x)^3}\end{aligned}

Последний числитель получен следующим раскрытием скобок:

\begin{aligned}u&=6-3x^2-2x^3+x^5,\\u'(1-x)&=-6x+6x^3+5x^4-5x^5,\\2u&=12-6x^2-4x^3+2x^5.\end{aligned}

Складывая две последние строки по одинаковым степеням

x

, получаем

12-6x-6x^2+2x^3+5x^4-3x^5