Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 827

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Закон движения точки по оси

Ox

даётся формулой

x=10t+5t^2

где

t

— время в секундах и

x

— расстояние в метрах. Найти среднюю
скорость движения за промежуток времени

20\leqslant t\leqslant20+\Delta t

и выполнить численный расчёт, если:

а)

\Delta t=1

;

б)

\Delta t=0{,}1

;

в)

\Delta t=0{,}01

.

Чему равна скорость движения в момент времени

t=20

Ответ:{

v_{\text{ср}}=215\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}

}

{

v_{\text{ср}}=210{,}5\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}

}

{

v_{\text{ср}}=210{,}05\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}

}

{

v(20)=210\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}

}

Решение

Идея

Средняя скорость равна отношению пройденного расстояния к длительности
промежутка:

\begin{aligned} v_{\text{ср}} &=\frac{x(20+\Delta t)-x(20)}{\Delta t}=\\ &=\frac{10\Delta t+5[(20+\Delta t)^2-20^2]}{\Delta t}=\\ &=\frac{210\Delta t+5(\Delta t)^2}{\Delta t}=210+5\Delta t\end{aligned}

1
Пункт а)
При $\Delta t=1$ $v_{\text{ср}}=210+5\cdot1=215\ \frac{\text{м}}{\text{с}}$
2
Пункт б)
При $\Delta t=0{,}1$ $v_{\text{ср}}=210+5\cdot0{,}1=210{,}5\ \frac{\text{м}}{\text{с}}$
3
Пункт в)
При $\Delta t=0{,}01$ $v_{\text{ср}}=210+5\cdot0{,}01=210{,}05\ \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Проверка

Поскольку закон

x(t)=10t+5t^2

задаётся дифференцируемой функцией, правый
предел средней скорости совпадает с мгновенной скоростью:

\begin{aligned} v(20) &=x'(20)=\\ &=\lim_{\Delta t\to0+}(210+5\Delta t) =210\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\end{aligned}