Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 825

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 825

Через точки A(2,4)A(2,4) и A′(2+Δx,4+Δy)A'(2+\Delta x,4+\Delta y) кривойy=x2y=x^2проведена секущая AA′AA'. Найти угловой коэффициент этой секущей, если:

а) Δx=1\Delta x=1;

б) Δx=0,1\Delta x=0{,}1;

в) Δx=0,01\Delta x=0{,}01;

г) Δx\Delta x произвольно мало.

Чему равен угловой коэффициент касательной к данной кривой в точке AA?
Ответ:{kAA′=5k_{AA'}=5}

{kAA′=4,1k_{AA'}=4{,}1}

{kAA′=4,01k_{AA'}=4{,}01}

{kAA′=4+Δx→4k_{AA'}=4+\Delta x\to4 при Δx→0\Delta x\to0}

{kкас=4k_{\text{кас}}=4}

Решение

Идея

Для точки A′A' имеем4+Δy=(2+Δx)24+\Delta y=(2+\Delta x)^2ОтсюдаΔy=(2+Δx)2−4==4Δx+(Δx)2\begin{aligned}
\Delta y
&=(2+\Delta x)^2-4=\\
&=4\Delta x+(\Delta x)^2
\end{aligned}При Δx≠0\Delta x\ne0 угловой коэффициент секущей равенkAA′=ΔyΔx==4Δx+(Δx)2Δx=4+Δx\begin{aligned}
k_{AA'}
&=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\\
&=\frac{4\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=4+\Delta x
\end{aligned}
  1. 1

    Пункт а)

    При Δx=1\Delta x=1kAA′=4+1=5k_{AA'}=4+1=5
  2. 2

    Пункт б)

    При Δx=0,1\Delta x=0{,}1kAA′=4+0,1=4,1k_{AA'}=4+0{,}1=4{,}1
  3. 3

    Пункт в)

    При Δx=0,01\Delta x=0{,}01kAA′=4+0,01=4,01k_{AA'}=4+0{,}01=4{,}01
  4. 4

    Пункт г)

    Если Δx\Delta x произвольно мало, тоkAA′=4+Δx⟶4при Δx→0k_{AA'}=4+\Delta x\longrightarrow4
    \qquad
    \text{при }\Delta x\to0

Проверка

Угловой коэффициент касательной является пределом углового коэффициента
секущей при A′→AA'\to A. Поэтомуkкас=lim⁡Δx→0(4+Δx)=4k_{\text{кас}}=\lim_{\Delta x\to0}(4+\Delta x)=4
Демидович № 825 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика