Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 854

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=x\sqrt{1+x^2}

Ответ:

y'=\frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Подкоренное выражение положительно при любом

x

, поэтому область определения
функции — вся числовая прямая. Применим правило произведения:

\begin{aligned} y'&=\left(x\right)'\sqrt{1+x^2} +x\left(\sqrt{1+x^2}\right)'=\\ &=\sqrt{1+x^2}+x\cdot\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} =\frac{1+2x^2}{\sqrt{1+x^2}}\end{aligned}