Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 855

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 855

y=(1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{3+x^3}

Ответ:

y'=\frac{3x^5+2x^4+4x^3+8x^2+3x+6} {\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}, \qquad x\ne-\sqrt[3]{3}

Решение

Идея

Функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Обозначим три множителя через

u=1+x, \qquad v=\sqrt{2+x^2}, \qquad w=\sqrt[3]{3+x^3}

При

x\ne-\sqrt[3]{3}

имеем

u'=1, \qquad v'=\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}, \qquad w'=\frac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}

По правилу производной произведения трёх функций, приводя слагаемые к общему
знаменателю, получаем

\begin{aligned} y'&=u'vw+uv'w+uvw'=\\ &=\frac{3x^5+2x^4+4x^3+8x^2+3x+6} {\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}\end{aligned}

В точке

x=-\sqrt[3]{3}

последний множитель обращается в нуль как кубический
корень выражения с простым нулём. Остальные два множителя там отличны от нуля,
поэтому конечной производной в этой точке нет.