Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 855

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=(1+x)\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{3+x^3}

Ответ:

y'=\frac{3x^5+2x^4+4x^3+8x^2+3x+6} {\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}, \qquad x\ne-\sqrt[3]{3}

Решение

Функция определена при всех

x\in\mathbb R

. Обозначим три множителя через

u=1+x, \qquad v=\sqrt{2+x^2}, \qquad w=\sqrt[3]{3+x^3}

При

x\ne-\sqrt[3]{3}

имеем

u'=1, \qquad v'=\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}, \qquad w'=\frac{x^2}{\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}

По правилу произведения имеем

y'=u'vw+uv'w+uvw'

. Общий знаменатель равен

\sqrt{2+x^2}\sqrt[3]{(3+x^3)^2}

, а числитель равен

\begin{aligned} &(2+x^2)(3+x^3)+(1+x)x(3+x^3)+(1+x)(2+x^2)x^2\\ &=(6+3x^2+2x^3+x^5)+(3x+3x^2+x^4+x^5)\\ &\quad +(2x^2+2x^3+x^4+x^5)\\ &=3x^5+2x^4+4x^3+8x^2+3x+6.\end{aligned}

Таким образом,

\begin{aligned} y'&=u'vw+uv'w+uvw'=\\ &=\frac{3x^5+2x^4+4x^3+8x^2+3x+6} {\sqrt{2+x^2}\,\sqrt[3]{(3+x^3)^2}}\end{aligned}

Пусть

a=-\sqrt[3]{3}

. Тогда

3+a^3=0

y(a)=0

, а при

h\ne0

3+(a+h)^3=h(3a^2+3ah+h^2).

Следовательно,

\frac{y(a+h)-y(a)}h =\frac{(1+a+h)\sqrt{2+(a+h)^2}\sqrt[3]{3a^2+3ah+h^2}} {|h|^{2/3}}.

Числитель стремится к ненулевому числу

(1+a)\sqrt{2+a^2}\sqrt[3]{3a^2}

, а знаменатель — к нулю. Поэтому конечной производной в точке

a

нет.