Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 861

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 861

y=1+1+x333y=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}}
Ответ:y′=127x23(1+x3)23(1+1+x33)23,x∉{−8,−1,0}y'=\frac1{27\sqrt[3]{x^2}
\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2}
\sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}\right)^2}},
\qquad x\notin\{-8,-1,0\}

Решение

Все корни кубические, поэтому функция определена на всей числовой прямой.
Положим
u=x3,v=1+u3,y=1+v3u=\sqrt[3]{x},
\qquad
v=\sqrt[3]{1+u},
\qquad
y=\sqrt[3]{1+v}В точках, где uu, vv и yy отличны от нуля, последовательно получаемu′=13u2,v′=u′3v2,y′=v′3y2u'=\frac1{3u^2},
\qquad
v'=\frac{u'}{3v^2},
\qquad
y'=\frac{v'}{3y^2}Значит,y′=127u2v2y2y'=\frac1{27u^2v^2y^2}Решим условия обращения множителей в нуль:u=0⇒x=0;v=0⇒u=−1⇒x=−1;u=0\Rightarrow x=0;\qquad
v=0\Rightarrow u=-1\Rightarrow x=-1;y=0⇒v=−1⇒u=−2⇒x=(−2)3=−8.y=0\Rightarrow v=-1\Rightarrow u=-2\Rightarrow x=(-2)^3=-8.Проверим производную в каждой из этих точек по определению. Пусть a∈{0,−1,−8}a\in\{0,-1,-8\}, u0=u(a)u_0=u(a), v0=v(a)v_0=v(a), y0=y(a)y_0=y(a). Три тождества разности кубов даютx−a=(u−u0)(u2+uu0+u02),u−u0=(v−v0)(v2+vv0+v02),v−v0=(y−y0)(y2+yy0+y02).\begin{aligned}
x-a&=(u-u_0)(u^2+uu_0+u_0^2),\\
u-u_0&=(v-v_0)(v^2+vv_0+v_0^2),\\
v-v_0&=(y-y_0)(y^2+yy_0+y_0^2).
\end{aligned}Поэтому при x≠ax\ne ay−y0x−a=1(u2+uu0+u02)(v2+vv0+v02)(y2+yy0+y02).\frac{y-y_0}{x-a}
=\frac1{(u^2+uu_0+u_0^2)(v^2+vv_0+v_0^2)(y^2+yy_0+y_0^2)}.Все три множителя в знаменателе положительны. При x→ax\to a один из них стремится к нулю, поскольку соответственно u0=0u_0=0, v0=0v_0=0 или y0=0y_0=0, а остальные — к положительным числам. Значит, разностное отношение стремится к +∞+\infty. Конечной производной в этих точках нет.
Демидович № 861 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика