Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 861

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 861

y=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}}

Ответ:

y'=\frac1{27\sqrt[3]{x^2} \sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{x}\right)^2} \sqrt[3]{\left(1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{x}}\right)^2}}, \qquad x\notin\{-8,-1,0\}

Решение

Идея

Все корни кубические, поэтому функция определена на всей числовой прямой.
Положим

Проверка

u=\sqrt[3]{x}, \qquad v=\sqrt[3]{1+u}, \qquad y=\sqrt[3]{1+v}

В точках, где

u

v

y

отличны от нуля, последовательно получаем

u'=\frac1{3u^2}, \qquad v'=\frac{u'}{3v^2}, \qquad y'=\frac{v'}{3y^2}

Значит,

y'=\frac1{27u^2v^2y^2}

Условия

u=0

v=0

y=0

дают соответственно исключительные точки

x=0, \qquad x=-1, \qquad x=-8

В каждой из этих точек соответствующее подкоренное выражение имеет простой
нуль, поэтому один из кубических корней порождает неограниченное разностное
отношение. Следовательно, конечной производной в этих точках нет.