Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 857

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}

Ответ:При

a\ne0

y'=\frac{a^2}{(a^2-x^2)^{\frac32}}, \qquad |x|<|a|

Решение

Идея

Если

a\ne0

, знаменатель должен быть положительным, поэтому

a^2-x^2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<|a|

Запишем функцию в степенном виде и применим правило произведения:

\begin{aligned} y'&=\left[x(a^2-x^2)^{-\frac12}\right]'=\\ &=(a^2-x^2)^{-\frac12} +x\left(-\frac12\right)(a^2-x^2)^{-\frac32}(-2x)=\\ &=\frac{a^2-x^2+x^2}{(a^2-x^2)^{\frac32}} =\frac{a^2}{(a^2-x^2)^{\frac32}}\end{aligned}

При

a=0

исходное выражение не определено ни при одном действительном

x