Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 869

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 869

y=1cos⁡nxy=\frac1{\cos^n x}
Ответ:y′=nsin⁡xcos⁡n+1xy'=\frac{n\sin x}{\cos^{n+1}x}

Решение

Идея

Пусть n∈Nn\in\mathbb N — фиксированное число. Функция определена при
cos⁡x≠0\cos x\ne0, то есть

Проверка

x≠π2+πkk∈Zx\ne\frac{\pi}{2}+\pi k
\qquad
k\in\mathbb ZПерепишем функцию в степенной форме:y=(cos⁡x)−ny=(\cos x)^{-n}По правилу дифференцирования сложной функцииy′=−n(cos⁡x)−n−1(−sin⁡x)=nsin⁡xcos⁡n+1xy'=-n(\cos x)^{-n-1}(-\sin x)
=\frac{n\sin x}{\cos^{n+1}x}Формула справедлива во всех точках области определения функции.