Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 826

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 826

Отрезок 1⩽x⩽1+h1\leqslant x\leqslant1+h оси OxOx с помощью функцииy=x3y=x^3отображается на ось OyOy. Определить средний коэффициент растяжения и
произвести численный расчёт, если:

а) h=0,1h=0{,}1;

б) h=0,01h=0{,}01;

в) h=0,001h=0{,}001.

Чему равен коэффициент растяжения при этом отображении в точке x=1x=1?
Ответ:{Kср=3,31K_{\text{ср}}=3{,}31}

{Kср=3,0301K_{\text{ср}}=3{,}0301}

{Kср=3,003001K_{\text{ср}}=3{,}003001}

{K(1)=3K(1)=3}

Решение

Идея

Длина исходного отрезка равна hh, а длина его образа на оси OyOy равна(1+h)3−1(1+h)^3-1Поэтому средний коэффициент растяжения составляетKср=(1+h)3−1h==3h+3h2+h3h=3+3h+h2\begin{aligned}
K_{\text{ср}}
&=\frac{(1+h)^3-1}{h}=\\
&=\frac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2
\end{aligned}
  1. 1

    Пункт а)

    При h=0,1h=0{,}1Kср=3+3⋅0,1+(0,1)2=3,31K_{\text{ср}}=3+3\cdot0{,}1+(0{,}1)^2=3{,}31
  2. 2

    Пункт б)

    При h=0,01h=0{,}01Kср=3+3⋅0,01+(0,01)2=3,0301K_{\text{ср}}=3+3\cdot0{,}01+(0{,}01)^2=3{,}0301
  3. 3

    Пункт в)

    При h=0,001h=0{,}001Kср=3+3⋅0,001+(0,001)2=3,003001K_{\text{ср}}=3+3\cdot0{,}001+(0{,}001)^2=3{,}003001

Проверка

Коэффициент растяжения в точке x=1x=1 равен пределу среднего коэффициента
при h→0+h\to0+:K(1)=lim⁡h→0+(3+3h+h2)=3K(1)=\lim_{h\to0+}(3+3h+h^2)=3Получен правый предел. Поскольку функция y=x3y=x^3 дифференцируема в точке
x=1x=1, он совпадает с обычной производной f′(1)=3f'(1)=3.
Демидович № 826 — решение и ответ