Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 859

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac1{\sqrt{1+x^2}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}

Ответ:

y'=-\frac1{(1+x^2)^{\frac32}}, \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Для любого действительного

x

выполняется

\sqrt{1+x^2}>|x|

поэтому оба множителя знаменателя положительны и

D_y=\mathbb R

Проверка

Обозначим

s=\sqrt{1+x^2}

. Из равенства

(s-x)(s+x)=s^2-x^2=1

получаем

\frac1{s+x}=s-x

Следовательно,

y=\frac{s-x}{s}=1-\frac{x}{s}

Так как

s'=\frac{x}{s}

, то

\begin{aligned} \left(\frac{x}{s}\right)'&=\frac{s-xs'}{s^2} =\frac{s-\frac{x^2}{s}}{s^2} =\frac{s^2-x^2}{s^3}=\frac1{s^3}\end{aligned}

Отсюда

y'=-\frac1{s^3}=-\frac1{(1+x^2)^{\frac32}}