Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 835

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 835

Для функцииy=x33+x22−2xy=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2xнайти, при каких значениях xx:а) y′(x)=0;б) y′(x)=−2;в) y′(x)=10\text{а) }y'(x)=0;\qquad
\text{б) }y'(x)=-2;\qquad
\text{в) }y'(x)=10
Ответ:x=−2x=-2 или x=1x=1

x=−1x=-1 или x=0x=0

x=−4x=-4 или x=3x=3

Решение

Идея

Сначала найдём производную:y′=x2+x−2=(x+2)(x−1)y'=x^2+x-2=(x+2)(x-1)
  1. 1

    Пункт а)

    Решаем уравнение(x+2)(x−1)=0(x+2)(x-1)=0Отсюдаx=−2илиx=1x=-2\qquad\text{или}\qquad x=1
  2. 2

    Пункт б)

    Условие y′(x)=−2y'(x)=-2 приводит к уравнениюx2+x−2=−2⟺x(x+1)=0x^2+x-2=-2
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    x(x+1)=0
  3. 3

    Пункт в)

    Условие y′(x)=10y'(x)=10 даётx2+x−2=10⟺(x+4)(x−3)=0x^2+x-2=10
    \quad\Longleftrightarrow\quad
    (x+4)(x-3)=0
Демидович № 835 — решение и ответ