Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 842

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 842

Найти производные функций:а) y=(1−x)(1−x2)2(1−x3)3,б) y=(5+2x)10(3−4x)20\text{а) }y=(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^3,
\qquad
\text{б) }y=(5+2x)^{10}(3-4x)^{20}
Ответ:а) y′=−(1−x2)2(1−x3)3−4x(1−x)(1−x2)(1−x3)3−9x2(1−x)(1−x2)2(1−x3)2\begin{aligned}
y'&=-(1-x^2)^2(1-x^3)^3\\
&\quad-4x(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^3\\
&\quad-9x^2(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^2
\end{aligned}б) y′=−20(12x+17)(5+2x)9(3−4x)19y'=-20(12x+17)(5+2x)^9(3-4x)^{19}

Решение

Пункт а)

Обозначим три множителя черезu=1−x,v=(1−x2)2,w=(1−x3)3u=1-x,\qquad
v=(1-x^2)^2,\qquad
w=(1-x^3)^3Их производные равныu′=−1,v′=−4x(1−x2),w′=−9x2(1−x3)2u'=-1,\qquad
v'=-4x(1-x^2),\qquad
w'=-9x^2(1-x^3)^2По правилу произведенияy′=u′vw+uv′w+uvw′==−(1−x2)2(1−x3)3−4x(1−x)(1−x2)(1−x3)3−9x2(1−x)(1−x2)2(1−x3)2\begin{aligned}
y'&=u'vw+uv'w+uvw'=\\
&=-(1-x^2)^2(1-x^3)^3\\
&\quad-4x(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^3\\
&\quad-9x^2(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^2
\end{aligned}

Пункт б)

Дифференцируем произведение:y′=20(5+2x)9(3−4x)20−80(5+2x)10(3−4x)19==20(5+2x)9(3−4x)19((3−4x)−4(5+2x))==−20(12x+17)(5+2x)9(3−4x)19\begin{aligned}
y'&=20(5+2x)^9(3-4x)^{20}
-80(5+2x)^{10}(3-4x)^{19}=\\
&=20(5+2x)^9(3-4x)^{19}
\bigl((3-4x)-4(5+2x)\bigr)=\\
&=-20(12x+17)(5+2x)^9(3-4x)^{19}
\end{aligned}
Демидович № 842 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика