Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 842

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 842

Найти производные функций:а) y=(1−x)(1−x2)2(1−x3)3,б) y=(5+2x)10(3−4x)20\text{а) }y=(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^3,
\qquad
\text{б) }y=(5+2x)^{10}(3-4x)^{20}
Ответ:y′=−(1−x2)2(1−x3)3−4x(1−x)(1−x2)(1−x3)3−9x2(1−x)(1−x2)2(1−x3)2\begin{aligned}
y'&=-(1-x^2)^2(1-x^3)^3\\
&\quad-4x(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^3\\
&\quad-9x^2(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^2
\end{aligned}y′=−20(12x+17)(5+2x)9(3−4x)19y'=-20(12x+17)(5+2x)^9(3-4x)^{19}

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Обозначим три множителя черезu=1−x,v=(1−x2)2,w=(1−x3)3u=1-x,\qquad
    v=(1-x^2)^2,\qquad
    w=(1-x^3)^3    Их производные равныu′=−1,v′=−4x(1−x2),w′=−9x2(1−x3)2u'=-1,\qquad
    v'=-4x(1-x^2),\qquad
    w'=-9x^2(1-x^3)^2    По правилу произведенияy′=u′vw+uv′w+uvw′==−(1−x2)2(1−x3)3−4x(1−x)(1−x2)(1−x3)3−9x2(1−x)(1−x2)2(1−x3)2\begin{aligned}
    y'&=u'vw+uv'w+uvw'=\\
    &=-(1-x^2)^2(1-x^3)^3\\
    &\quad-4x(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^3\\
    &\quad-9x^2(1-x)(1-x^2)^2(1-x^3)^2
    \end{aligned}
  2. 2

    Пункт б)

    Дифференцируем произведение:y′=20(5+2x)9(3−4x)20−80(5+2x)10(3−4x)19==20(5+2x)9(3−4x)19((3−4x)−4(5+2x))==−20(12x+17)(5+2x)9(3−4x)19\begin{aligned}
    y'&=20(5+2x)^9(3-4x)^{20}
    -80(5+2x)^{10}(3-4x)^{19}=\\
    &=20(5+2x)^9(3-4x)^{19}
    \bigl((3-4x)-4(5+2x)\bigr)=\\
    &=-20(12x+17)(5+2x)^9(3-4x)^{19}
    \end{aligned}
Демидович № 842 — решение и ответ