Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 856

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 856

y=(1−x)m(1+x)nm+ny=\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n}
Ответ:При x≠±1x\ne\pm1 во внутренних точках области определенияy′=(1−x)m−1(1+x)n−1(n−m−(m+n)x)(m+n)((1−x)m(1+x)nm+n)m+n−1y'=\frac{(1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}
\bigl(n-m-(m+n)x\bigr)}
{(m+n)\left(\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n}\right)^{m+n-1}}В частности, при −1<x<1-1<x<1y′=n−m−(m+n)x(m+n)(1−x)n(1+x)mm+ny'=\frac{n-m-(m+n)x}
{(m+n)\sqrt[m+n]{(1-x)^n(1+x)^m}}

Решение

Здесь m,nm,n — положительные целые числа, k=m+nk=m+n. Если kk нечётно, область определения равна R\mathbb R. Если kk чётно и m,nm,n чётны, область также равна R\mathbb R. Если m,nm,n нечётны, подкоренное выражение неотрицательно ровно на [−1,1][-1,1].

Положим P(x)=(1−x)m(1+x)nP(x)=(1-x)^m(1+x)^n и y(x)=P(x)ky(x)=\sqrt[k]{P(x)}. При x≠±1x\ne\pm1 во внутренней точке области определения y(x)≠0y(x)\ne0. Из тождества разности степенейP(x+h)−P(x)=[y(x+h)−y(x)]∑j=0k−1y(x+h)k−1−jy(x)jP(x+h)-P(x)=[y(x+h)-y(x)]
\sum_{j=0}^{k-1}y(x+h)^{k-1-j}y(x)^jполучаем разностное отношениеy(x+h)−y(x)h=[P(x+h)−P(x)]/h∑j=0k−1y(x+h)k−1−jy(x)j.\frac{y(x+h)-y(x)}h
=\frac{[P(x+h)-P(x)]/h}
{\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}y(x+h)^{k-1-j}y(x)^j}.По непрерывности корня знаменатель стремится к k y(x)k−1≠0k\,y(x)^{k-1}\ne0. Числитель стремится к производной многочлена PP. Это доказывает существование производной yy и формулу y′=P′/(kyk−1)y'=P'/(ky^{k-1}).

Вычислим P′P':P′=\displaystyle P'\mathrel{=}−m(1−x)m−1(1+x)n+n(1−x)m(1+x)n−1=\displaystyle -m(1-x)^{m-1}(1+x)^n+n(1-x)^m(1+x)^{n-1}\mathrel{=}(1−x)m−1(1+x)n−1[−m(1+x)+n(1−x)]=\displaystyle (1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}[-m(1+x)+n(1-x)]\mathrel{=}(1−x)m−1(1+x)n−1[n−m−(m+n)x].\displaystyle (1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}[n-m-(m+n)x].Следовательно,y′=(1−x)m−1(1+x)n−1[n−m−(m+n)x](m+n)((1−x)m(1+x)nm+n)m+n−1.y'=\frac{(1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}[n-m-(m+n)x]}
{(m+n)(\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n})^{m+n-1}}.При −1<x<1-1<x<1 все основания положительны. Степень 1−x1-x после сокращения равна m−1−m(k−1)/k=−n/km-1-m(k-1)/k=-n/k, а степень 1+x1+x равна n−1−n(k−1)/k=−m/kn-1-n(k-1)/k=-m/k. Поэтомуy′=n−m−(m+n)x(m+n)(1−x)n(1+x)mm+n.y'=\frac{n-m-(m+n)x}{(m+n)\sqrt[m+n]{(1-x)^n(1+x)^m}}.В точке 11 имеем y(1)=0y(1)=0 и по допустимой стороне∣y(1+h)−y(1)h∣=∣h∣m/k−1∣2+h∣n/k⟶+∞,\left|\frac{y(1+h)-y(1)}h\right|
=|h|^{m/k-1}|2+h|^{n/k}\longrightarrow+\infty,так как m/k−1=−n/k<0m/k-1=-n/k<0. В точке −1-1 получаем∣y(−1+h)−y(−1)h∣=∣h∣n/k−1∣2−h∣m/k⟶+∞.\left|\frac{y(-1+h)-y(-1)}h\right|
=|h|^{n/k-1}|2-h|^{m/k}\longrightarrow+\infty.В этих двух точках конечной производной нет.
Демидович № 856 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика