Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 856

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 856

y=(1−x)m(1+x)nm+ny=\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n}
Ответ:При x≠±1x\ne\pm1 во внутренних точках области определенияy′=(1−x)m−1(1+x)n−1(n−m−(m+n)x)(m+n)((1−x)m(1+x)nm+n)m+n−1y'=\frac{(1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}
\bigl(n-m-(m+n)x\bigr)}
{(m+n)\left(\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n}\right)^{m+n-1}}В частности, при −1<x<1-1<x<1y′=n−m−(m+n)x(m+n)(1−x)n(1+x)mm+ny'=\frac{n-m-(m+n)x}
{(m+n)\sqrt[m+n]{(1-x)^n(1+x)^m}}

Решение

Идея

Предполагаем, что m,n∈{1,2,3,…}m,n\in\{1,2,3,\ldots\}, и положим k=m+nk=m+n. Область определения
зависит от чётности показателей. Если kk нечётно, корень нечётной степени
определён при всех x∈Rx\in\mathbb R. Если kk чётно, то mm и nn имеют
одинаковую чётность: при чётных m,nm,n областью определения также является
R\mathbb R, а при нечётных m,nm,n получаем отрезок [−1,1][-1,1].

Проверка

Чтобы не вводить дробные степени отрицательных чисел, возведём исходное
равенство в степень kk:yk=(1−x)m(1+x)ny^k=(1-x)^m(1+x)^nВ точках, где x≠±1x\ne\pm1 и функция определена, дифференцируем обе части:kyk−1y′=−m(1−x)m−1(1+x)n++n(1−x)m(1+x)n−1==(1−x)m−1(1+x)n−1(n−m−(m+n)x)\begin{aligned}
ky^{k-1}y'={}&-m(1-x)^{m-1}(1+x)^n+\\
&+n(1-x)^m(1+x)^{n-1}=\\
&=(1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}
\bigl(n-m-(m+n)x\bigr)
\end{aligned}Следовательно,y′=(1−x)m−1(1+x)n−1(n−m−(m+n)x)(m+n)((1−x)m(1+x)nm+n)m+n−1y'=\frac{(1-x)^{m-1}(1+x)^{n-1}
\bigl(n-m-(m+n)x\bigr)}
{(m+n)\left(\sqrt[m+n]{(1-x)^m(1+x)^n}\right)^{m+n-1}}На основном промежутке −1<x<1-1<x<1, где оба основания положительны, эту формулу
можно записать компактнее:y′=n−m−(m+n)x(m+n)(1−x)n(1+x)mm+ny'=\frac{n-m-(m+n)x}
{(m+n)\sqrt[m+n]{(1-x)^n(1+x)^m}}В точках x=±1x=\pm1 конечной производной нет: соответствующий корневой множитель
имеет степень, меньшую единицы.
Демидович № 856 — решение и ответ