Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 847

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=\frac{x}{(1-x)^2(1+x)^3}

Ответ:При

x\ne\pm1

y'=\frac{4x^2-x+1}{(1-x)^3(1+x)^4}

Решение

Область определения:

D=\mathbb R\setminus\{-1,1\}

Перепишем функцию в степенном виде:

y=x(1-x)^{-2}(1+x)^{-3}

Дифференцируя произведение, получаем

\begin{aligned} y'&=(1-x)^{-2}(1+x)^{-3} +2x(1-x)^{-3}(1+x)^{-3}\\ &\quad-3x(1-x)^{-2}(1+x)^{-4}=\\ &=\frac{(1-x)(1+x)+2x(1+x)-3x(1-x)} {(1-x)^3(1+x)^4}=\\ &=\frac{4x^2-x+1}{(1-x)^3(1+x)^4}\end{aligned}