Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 829

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

f'(1)

f'(2)

f'(3)

, если

f(x)=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3

Ответ:{

f'(1)=-8

f'(2)=0

f'(3)=0

}

Решение

Идея

Воспользуемся следующим свойством. Если

f(x)=(x-a)^m g(x), \qquad g(a)\ne0

где функция

g

непрерывна в точке

a

, то

f'(a)= \begin{cases} g(a), & m=1,\\ 0, & m\geqslant2 \end{cases}

Действительно,

f(a)=0

, поэтому

\begin{aligned} f'(a) &=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\\ &=\lim_{x\to a}(x-a)^{m-1}g(x)\end{aligned}

При

m=1

непрерывность

g

даёт

f'(a)=g(a)

. При

m\geqslant2

множитель

(x-a)^{m-1}

стремится к нулю, а непрерывная в точке

a

функция

g

ограничена в некоторой окрестности этой точки, поэтому

f'(a)=0

В точке

x=1

корень имеет кратность один, поэтому

f'(1)=(1-2)^2(1-3)^3=1\cdot(-8)=-8

Проверка

В точках

x=2

x=3

кратности корней равны соответственно двум и трём.
Следовательно,

f'(2)=0, \qquad f'(3)=0