Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 832

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}

если функция

f(x)

дифференцируема в точке

a

Ответ:{

f'(a)

}

Решение

Идея

Положим

h=x-a

. Тогда при

x\to a

имеем

h\to0

, а

x=a+h

.
Поэтому

\begin{aligned} \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} &=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=\\ &=f'(a)\end{aligned}

Последнее равенство является определением производной функции в точке

a