Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 860

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}

Ответ:При

x>0

y'=\frac1{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \left( 1+\frac{1+\frac1{2\sqrt{x}}} {2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \right)

Решение

Идея

Из самого внутреннего корня следует условие

x\geqslant0

. При таком

x

все
остальные подкоренные выражения также неотрицательны, поэтому

Проверка

D_y=[0,+\infty)

Введём последовательные обозначения

u=\sqrt{x}, \qquad v=\sqrt{x+u}, \qquad y=\sqrt{x+v}

При

x>0

имеем

u'=\frac1{2\sqrt{x}}

затем

v'=\frac{1+u'}{2v} =\frac{1+\frac1{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}

и, наконец,

\begin{aligned} y'&=\frac{1+v'}{2y} =\frac1{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} \left( 1+\frac{1+\frac1{2\sqrt{x}}} {2\sqrt{x+\sqrt{x}}} \right)\end{aligned}

Точка

x=0

является концом области определения. При

x\to0+

имеем

y(x)\sim x^{\frac18}, \qquad \frac{y(x)-y(0)}{x}\sim x^{-\frac78}\to+\infty

Следовательно, конечной правой производной в этой точке нет.