Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 846

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac{1+x-x^2}{1-x+x^2}

Ответ:

y'=\frac{2(1-2x)}{(1-x+x^2)^2}

Решение

Проверка

Знаменатель всегда положителен, поскольку

1-x+x^2=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0

Следовательно, область определения равна

\mathbb R

. Обозначим
числитель через

u=1+x-x^2

, а знаменатель через

v=1-x+x^2

. Тогда

u'=1-2x,\qquad v'=2x-1=-(1-2x),\qquad u+v=2

По правилу производной частного

\begin{aligned} y'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\\ &=\frac{(1-2x)(u+v)}{v^2} =\frac{2(1-2x)}{(1-x+x^2)^2}\end{aligned}