Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 823

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Переменная

x

получает приращение

\Delta x

. Определить приращение

\Delta y

, если:

а)

y=ax+b

;

б)

y=ax^2+bx+c

;

в)

y=a^x

Ответ:а) {

\Delta y=a\Delta x

}

б) {

\Delta y=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2

}

в) {

\Delta y=a^x\bigl(a^{\Delta x}-1\bigr)

}

Решение

По определению приращения функции

\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

Для функции

f(x)=ax+b

получаем

\begin{aligned} \Delta y =a(x+\Delta x)&+b-(ax+b)=\\ &=a\Delta x\end{aligned}

Для квадратичной функции

\begin{aligned} \Delta y &=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(ax^2+bx+c)=\\ &=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x=\\ &=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2\end{aligned}

Для показательной функции, где

a>0

, имеем

\begin{aligned} \Delta y &=a^{x+\Delta x}-a^x=\\ &=a^x\bigl(a^{\Delta x}-1\bigr)\end{aligned}