Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 823

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 823

Переменная xx получает приращение Δx\Delta x. Определить приращение
Δy\Delta y, если:

а) y=ax+by=ax+b;

б) y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c;

в) y=axy=a^x.
Ответ:{Δy=aΔx\Delta y=a\Delta x}

{Δy=(2ax+b)Δx+a(Δx)2\Delta y=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2}

{Δy=ax(aΔx−1)\Delta y=a^x\bigl(a^{\Delta x}-1\bigr)}

Решение

Идея

По определению приращения функцииΔy=f(x+Δx)−f(x)\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)
  1. 1

    Пункт а)

    Для функции f(x)=ax+bf(x)=ax+b получаемΔy=a(x+Δx)+b−(ax+b)==aΔx\begin{aligned}
    \Delta y
    =a(x+\Delta x)&+b-(ax+b)=\\
    &=a\Delta x
    \end{aligned}
  2. 2

    Пункт б)

    Для квадратичной функцииΔy=a(x+Δx)2+b(x+Δx)+c−(ax2+bx+c)==2axΔx+a(Δx)2+bΔx==(2ax+b)Δx+a(Δx)2\begin{aligned}
    \Delta y
    &=a(x+\Delta x)^2+b(x+\Delta x)+c-(ax^2+bx+c)=\\
    &=2ax\Delta x+a(\Delta x)^2+b\Delta x=\\
    &=(2ax+b)\Delta x+a(\Delta x)^2
    \end{aligned}
  3. 3

    Пункт в)

    Для показательной функции, где a>0a>0, имеемΔy=ax+Δx−ax==ax(aΔx−1)\begin{aligned}
    \Delta y
    &=a^{x+\Delta x}-a^x=\\
    &=a^x\bigl(a^{\Delta x}-1\bigr)
    \end{aligned}
Демидович № 823 — решение и ответ