Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 844

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 844

Доказать формулу(ax+bcx+d)′=∣abcd∣(cx+d)2\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)'
=\frac{\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}}{(cx+d)^2}
Доказано:Для всех xx, при которых cx+d≠0cx+d\ne0,(ax+bcx+d)′=∣abcd∣(cx+d)2\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)'
=\frac{\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}}{(cx+d)^2}

Доказательство

Сначала требуется, чтобы cx+d≠0cx+d\ne0. В любой точке области
определения по правилу производной частного
(ax+bcx+d)′=a(cx+d)−c(ax+b)(cx+d)2==acx+ad−acx−bc(cx+d)2==ad−bc(cx+d)2\begin{aligned}
\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)'
&=\frac{a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d)^2}=\\
&=\frac{acx+ad-acx-bc}{(cx+d)^2}=\\
&=\frac{ad-bc}{(cx+d)^2}
\end{aligned}Но∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix}a&b\\ c&d\end{vmatrix}=ad-bcпоэтому требуемая формула доказана. Если c=d=0c=d=0, знаменатель
тождественно равен нулю, исходное выражение не задаёт функцию и
формула производной неприменима.

Что и требовалось доказать