Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 850

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

Задача 850

y=xp(1−x)q1+xy=\frac{x^p(1-x)^q}{1+x}
Ответ:На указанных в решении промежутках дифференцируемости (при положительных целых p,qp,q — для всех x≠−1x\ne-1)y′=xp−1(1−x)q−1(1+x)2(p−(q+1)x+(1−p−q)x2)y'=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2}
\bigl(p-(q+1)x+(1-p-q)x^2\bigr)

Решение

Параметры p,qp,q считаем постоянными. При произвольных действительных показателях расчёт выполняется там, где степенные множители определены и дифференцируемы; в частности, при 0<x<10<x<1. При положительных целых p,qp,q расчёт справедлив при всех x≠−1x\ne-1. Положим u=xp(1−x)qu=x^p(1-x)^q и найдём u′u' по правилу произведения:
u′=pxp−1(1−x)q−qxp(1−x)q−1==xp−1(1−x)q−1(p−(p+q)x)\begin{aligned}
u'&=px^{p-1}(1-x)^q-qx^p(1-x)^{q-1}=\\
&=x^{p-1}(1-x)^{q-1}\bigl(p-(p+q)x\bigr)
\end{aligned}По правилу производной частногоy′=u′(1+x)−u(1+x)2==xp−1(1−x)q−1(1+x)2((p−(p+q)x)(1+x)−x(1−x))==xp−1(1−x)q−1(1+x)2(p−(q+1)x+(1−p−q)x2)\begin{aligned}
y'&=\frac{u'(1+x)-u}{(1+x)^2}=\\
&=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2}
\bigl((p-(p+q)x)(1+x)-x(1-x)\bigr)=\\
&=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2}
\bigl(p-(q+1)x+(1-p-q)x^2\bigr)
\end{aligned}
Демидович № 850 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика