Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 850

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac{x^p(1-x)^q}{1+x}

Ответ:При

x\ne-1

y'=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2} \bigl(p-(q+1)x+(1-p-q)x^2\bigr)

Решение

Идея

Пусть

p,q\in\{1,2,3,\ldots\}

. Тогда

D=\mathbb R\setminus\{-1\}

. Положим

u=x^p(1-x)^q

. По правилу произведения

\begin{aligned} u'&=px^{p-1}(1-x)^q-qx^p(1-x)^{q-1}=\\ &=x^{p-1}(1-x)^{q-1}\bigl(p-(p+q)x\bigr)\end{aligned}

По правилу производной частного

\begin{aligned} y'&=\frac{u'(1+x)-u}{(1+x)^2}=\\ &=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2} \bigl((p-(p+q)x)(1+x)-x(1-x)\bigr)=\\ &=\frac{x^{p-1}(1-x)^{q-1}}{(1+x)^2} \bigl(p-(q+1)x+(1-p-q)x^2\bigr)\end{aligned}