Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 824

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Доказать, что

а)

\Delta[f(x)+g(x)]=\Delta f(x)+\Delta g(x)

;

б)

\Delta[f(x)g(x)]=g(x+\Delta x)\,\Delta f(x)+f(x)\,\Delta g(x)

Доказано:а) {

\Delta[f(x)+g(x)]=\Delta f(x)+\Delta g(x)

}

б) {

\Delta[f(x)g(x)]=g(x+\Delta x)\,\Delta f(x)+f(x)\,\Delta g(x)

}

Доказательство

Используя определение приращения, получаем

\begin{aligned} \Delta[f(x)+g(x)] &=[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]=\\ &=[f(x+\Delta x)-f(x)]+[g(x+\Delta x)-g(x)]=\\ &=\Delta f(x)+\Delta g(x)\end{aligned}

К разности произведений прибавим и вычтем

f(x)g(x+\Delta x)

\begin{aligned} \Delta&[f(x)g(x)] =f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)=\\ &=f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+ +f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)=\\ &=g(x+\Delta x)[f(x+\Delta x)-f(x)]+ +f(x)[g(x+\Delta x)-g(x)]=\\ &=g(x+\Delta x)\,\Delta f(x)+f(x)\,\Delta g(x)\end{aligned}

Что и требовалось доказать