Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 865

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 865

y=sin⁡nxcos⁡(nx)y=\sin^n x\cos(nx)
Ответ:y′=nsin⁡n−1xcos⁡((n+1)x),x∈Ry'=n\sin^{n-1}x\cos((n+1)x),
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Полагаем n∈{1,2,3,…}n\in\{1,2,3,\ldots\}. Функция определена на всей числовой прямой.
Применяем правило произведения:
y′=nsin⁡n−1xcos⁡xcos⁡(nx)−nsin⁡nxsin⁡(nx)==nsin⁡n−1x(cos⁡xcos⁡(nx)−sin⁡xsin⁡(nx))\begin{aligned}
y'&=n\sin^{n-1}x\cos x\cos(nx)
-n\sin^n x\sin(nx)=\\
&=n\sin^{n-1}x
\bigl(\cos x\cos(nx)-\sin x\sin(nx)\bigr)
\end{aligned}По формуле косинуса суммы выражение в скобках равно cos⁡((n+1)x)\cos((n+1)x), поэтомуy′=nsin⁡n−1xcos⁡((n+1)x)y'=n\sin^{n-1}x\cos((n+1)x)