Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 831

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти

f'(1)

, если

f(x)=x+(x-1)\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}

Ответ:{

f'(1)=1+\dfrac\pi4

}

Решение

Идея

Для существования выражения под знаком арксинуса необходимо и достаточно,
чтобы

Проверка

0\leqslant\frac{x}{x+1}\leqslant1, \qquad x\ne-1

Первое неравенство даёт

\frac{x}{x+1}\geqslant0 \quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,-1)\cup[0,+\infty)

а второе —

\frac{x}{x+1}\leqslant1 \quad\Longrightarrow\quad x>-1

Пересекая полученные множества, находим область определения:

D_f=[0,+\infty)

Точка

x=1

является внутренней точкой этой области. Введём обозначение

\varphi(x)=\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}

Функция

\varphi

дифференцируема в окрестности точки

x=1

, поэтому

f'(x)=1+\varphi(x)+(x-1)\varphi'(x)

При

x=1

последнее слагаемое обращается в нуль, а

\begin{aligned} \varphi(1) &=\arcsin\sqrt{\frac12}=\\ &=\arcsin\frac1{\sqrt2}=\frac\pi4\end{aligned}

Следовательно,

f'(1)=1+\frac\pi4