Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 839

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=(x+1)(x+2)^2(x+3)^3

Ответ:

y'=2(x+2)(x+3)^2(3x^2+11x+9)

Решение

Применяем правило дифференцирования произведения трёх множителей:

\begin{aligned} y'&=(x+2)^2(x+3)^3 +2(x+1)(x+2)(x+3)^3\\ &\quad+3(x+1)(x+2)^2(x+3)^2\end{aligned}

Выносим общие множители

(x+2)(x+3)^2

\begin{aligned} y'&=(x+2)(x+3)^2\bigl((x+2)(x+3)\\ &\qquad+2(x+1)(x+3)+3(x+1)(x+2)\bigr)=\\ &=(x+2)(x+3)^2[(x^2+5x+6)+(2x^2+8x+6)\\ &\qquad +(3x^2+9x+6)]=\\ &=(x+2)(x+3)^2(6x^2+22x+18)=\\ &=2(x+2)(x+3)^2(3x^2+11x+9)\end{aligned}