Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 849

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

y=\frac{(1-x)^p}{(1+x)^q}

Ответ:При

x\ne-1

y'=-\frac{(1-x)^{p-1}} {(1+x)^{q+1}} \bigl(p+q+(p-q)x\bigr)

Решение

Идея

Пусть

p,q\in\{1,2,3,\ldots\}

. Тогда

D=\mathbb R\setminus\{-1\}

, и на всей области определения запишем

y=(1-x)^p(1+x)^{-q}

Тогда

\begin{aligned} y'&=-p(1-x)^{p-1}(1+x)^{-q} -q(1-x)^p(1+x)^{-q-1}=\\ &=-\frac{(1-x)^{p-1}} {(1+x)^{q+1}} \bigl(p(1+x)+q(1-x)\bigr)=\\ &=-\frac{(1-x)^{p-1}} {(1+x)^{q+1}} \bigl(p+q+(p-q)x\bigr)\end{aligned}