Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 849

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

Задача 849

y=(1−x)p(1+x)qy=\frac{(1-x)^p}{(1+x)^q}
Ответ:На указанных в решении промежутках дифференцируемости (при положительных целых p,qp,q — для всех x≠−1x\ne-1)y′=−(1−x)p−1(1+x)q+1(p+q+(p−q)x)y'=-\frac{(1-x)^{p-1}}
{(1+x)^{q+1}}
\bigl(p+q+(p-q)x\bigr)

Решение

Параметры p,qp,q считаем постоянными. При произвольных действительных показателях расчёт выполняется там, где степенные множители определены и дифференцируемы; в частности, при −1<x<1-1<x<1. При положительных целых p,qp,q расчёт справедлив при всех x≠−1x\ne-1. Запишем функцию как произведение:
y=(1−x)p(1+x)−qy=(1-x)^p(1+x)^{-q}Тогдаy′=−p(1−x)p−1(1+x)−q−q(1−x)p(1+x)−q−1==−(1−x)p−1(1+x)q+1(p(1+x)+q(1−x))==−(1−x)p−1(1+x)q+1(p+q+(p−q)x)\begin{aligned}
y'&=-p(1-x)^{p-1}(1+x)^{-q}
-q(1-x)^p(1+x)^{-q-1}=\\
&=-\frac{(1-x)^{p-1}}
{(1+x)^{q+1}}
\bigl(p(1+x)+q(1-x)\bigr)=\\
&=-\frac{(1-x)^{p-1}}
{(1+x)^{q+1}}
\bigl(p+q+(p-q)x\bigr)
\end{aligned}
Демидович № 849 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика