Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 851

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции:

y=x+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}

Ответ:При

x>0

y'=1+\frac1{2\sqrt{x}}+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}

при

x=0

конечной производной нет

Решение

Из-за квадратного корня область определения функции равна

D=[0,+\infty)

. При

x>0

применяем степенное правило:

y'=1+\frac1{2\sqrt{x}}+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}

При

x=0

обычной конечной производной нет, поскольку

\frac{y(h)-y(0)}h =1+\frac1{\sqrt h}+\frac1{\sqrt[3]{h^2}} \longrightarrow+\infty \quad(h\to0^+)