Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 851

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача, подробное решение и ответ.

Задача 851

y=x+x+x3y=x+\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}
Ответ:При x>0x>0y′=1+12x+13x23y'=1+\frac1{2\sqrt{x}}+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}при x=0x=0 конечной производной нет

Решение

Идея

Из-за квадратного корня область определения функции равна
D=[0,+∞)D=[0,+\infty). При x>0x>0 применяем степенное правило:
y′=1+12x+13x23y'=1+\frac1{2\sqrt{x}}+\frac1{3\sqrt[3]{x^2}}При x=0x=0 обычной конечной производной нет, посколькуy(h)−y(0)h=1+1h+1h23⟶+∞(h→0+)\frac{y(h)-y(0)}h
=1+\frac1{\sqrt h}+\frac1{\sqrt[3]{h^2}}
\longrightarrow+\infty
\quad(h\to0^+)
Демидович № 851 — решение и ответ