Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 833

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 833

Доказать, что если функция f(x)f(x) дифференцируема и nn — натуральное
число, тоlim⁡n→∞n[f(x+1n)−f(x)]=f′(x)\lim_{n\to\infty}
n\left[
f\left(x+\frac1n\right)-f(x)
\right]
=f'(x)Обратно, если для функции f(x)f(x) существует указанный предел, то можно ли
утверждать, что эта функция имеет производную? Рассмотреть пример функции
Дирихле.
Доказано:{lim⁡n→∞n[f(x+1n)−f(x)]=f′(x)\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left[f\left(x+\dfrac1n\right)-f(x)\right]=f'(x)}

{Нет; функция Дирихле даёт контрпример: указанный предел всюду равен 00, но производной нет ни в одной точке}

Доказательство

Идея

Поскольку n∈Nn\in\mathbb N, величинаhn=1nh_n=\frac1nстремится к нулю справа при n→∞n\to\infty. Преобразуем выражение под знаком
предела:n[f(x+1n)−f(x)]=f(x+hn)−f(x)hnn\left[f\left(x+\frac1n\right)-f(x)\right]
=\frac{f(x+h_n)-f(x)}{h_n}Если функция ff дифференцируема в точке xx, разностное отношение имеет
один и тот же предел f′(x)f'(x) при любом способе стремления приращения к нулю.
В частности,lim⁡n→∞n[f(x+1n)−f(x)]=f′(x)\lim_{n\to\infty}n\left[f\left(x+\frac1n\right)-f(x)\right]
=f'(x)
Обратное утверждение неверно. Рассмотрим функцию ДирихлеD(x)={1,x∈Q0,x∈R∖QD(x)=
\begin{cases}
1, & x\in\mathbb Q\\
0, & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}Число 1n\dfrac1n рационально. Если xx рационально, то
x+1nx+\dfrac1n рационально; если xx иррационально, то
x+1nx+\dfrac1n иррационально. Поэтому для любого x∈Rx\in\mathbb R и любого
n∈Nn\in\mathbb ND(x+1n)=D(x)D\left(x+\frac1n\right)=D(x)Следовательно,n[D(x+1n)−D(x)]=0n\left[D\left(x+\frac1n\right)-D(x)\right]=0и указанный предел существует в каждой точке и равен нулю.

Проверка

Однако в любой окрестности любой точки имеются и рациональные, и
иррациональные числа. Поэтому функция DD разрывна в каждой точке. Поскольку
дифференцируемость влечёт непрерывность, функция Дирихле нигде не имеет
производной.

Что и требовалось доказать

Демидович № 833 — решение и ответ