Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 864

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\sin(\cos^2x)\cdot\cos(\sin^2x)

Ответ:

y'=-\sin(2x)\cos(\cos(2x)), \qquad x\in\mathbb R

Решение

Идея

Функция определена на

\mathbb R

. Используем формулу

\sin A\cos B= \frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr)

Положим

A=\cos^2x

B=\sin^2x

. Поскольку

A+B=1

, а

A-B=\cos(2x)

, получаем

y=\frac12\bigl(\sin1+\sin(\cos(2x))\bigr)

Первое слагаемое постоянно. Для второго применяем правило цепочки:

\begin{aligned} y'&=\frac12\cos(\cos(2x))(-2\sin(2x))=\\ &=-\sin(2x)\cos(\cos(2x))\end{aligned}