Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 864

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 864

y=sin⁡(cos⁡2x)⋅cos⁡(sin⁡2x)y=\sin(\cos^2x)\cdot\cos(\sin^2x)
Ответ:y′=−sin⁡(2x)cos⁡(cos⁡(2x)),x∈Ry'=-\sin(2x)\cos(\cos(2x)),
\qquad x\in\mathbb R

Решение

Функция определена на R\mathbb R. Используем формулу
sin⁡Acos⁡B=12(sin⁡(A+B)+sin⁡(A−B))\sin A\cos B=
\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr)Положим A=cos⁡2xA=\cos^2x и B=sin⁡2xB=\sin^2x. Поскольку A+B=1A+B=1, а
A−B=cos⁡(2x)A-B=\cos(2x), получаемy=12(sin⁡1+sin⁡(cos⁡(2x)))y=\frac12\bigl(\sin1+\sin(\cos(2x))\bigr)Первое слагаемое постоянно. Для второго применяем правило цепочки:y′=12cos⁡(cos⁡(2x))(−2sin⁡(2x))==−sin⁡(2x)cos⁡(cos⁡(2x))\begin{aligned}
y'&=\frac12\cos(\cos(2x))(-2\sin(2x))=\\
&=-\sin(2x)\cos(\cos(2x))
\end{aligned}