Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 870

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 870

y=sin⁡x−xcos⁡xcos⁡x+xsin⁡xy=\frac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}
Ответ:y′=x2(cos⁡x+xsin⁡x)2y'=\frac{x^2}{(\cos x+x\sin x)^2}

Решение

Обозначим числитель и знаменатель черезu=sin⁡x−xcos⁡xv=cos⁡x+xsin⁡xu=\sin x-x\cos x
\qquad
v=\cos x+x\sin xТогдаu′=cos⁡x−(cos⁡x−xsin⁡x)=xsin⁡xv′=−sin⁡x+(sin⁡x+xcos⁡x)=xcos⁡x\begin{aligned}
u'&=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x\\
v'&=-\sin x+(\sin x+x\cos x)=x\cos x
\end{aligned}Применяем правило производной частного:y′=u′v−uv′v2==xsin⁡x(cos⁡x+xsin⁡x)−xcos⁡x(sin⁡x−xcos⁡x)(cos⁡x+xsin⁡x)2==x2(sin⁡2x+cos⁡2x)(cos⁡x+xsin⁡x)2=x2(cos⁡x+xsin⁡x)2\begin{aligned}
y'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\\
&=\frac{x\sin x(\cos x+x\sin x)
-x\cos x(\sin x-x\cos x)}
{(\cos x+x\sin x)^2}=\\
&=\frac{x^2(\sin^2x+\cos^2x)}
{(\cos x+x\sin x)^2}
=\frac{x^2}{(\cos x+x\sin x)^2}
\end{aligned}Производная существует там, где cos⁡x+xsin⁡x≠0\cos x+x\sin x\ne0.
Демидович № 870 — решение и ответ