Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 858

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 858

y=1+x31−x33y=\sqrt[3]{\frac{1+x^3}{1-x^3}}
Ответ:y′=2x2(1−x3)4(1+x3)23,x∈R∖{−1,1}y'=\frac{2x^2}
{\sqrt[3]{(1-x^3)^4(1+x^3)^2}},
\qquad x\in\mathbb R\setminus\{-1,1\}

Решение

Кубический корень определён для любого действительного подкоренного выражения,
но знаменатель внутренней дроби не должен обращаться в нуль. Поэтому
Dy=R∖{1}D_y=\mathbb R\setminus\{1\}Положимu=1+x31−x3u=\frac{1+x^3}{1-x^3}Тогдаu′=3x2(1−x3)−(1+x3)(−3x2)(1−x3)2=6x2(1−x3)2\begin{aligned}
u'&=\frac{3x^2(1-x^3)-(1+x^3)(-3x^2)}{(1-x^3)^2}=
\frac{6x^2}{(1-x^3)^2}
\end{aligned}При u≠0u\ne0, то есть при x≠−1x\ne-1, применяем правило дифференцирования
кубического корня:y′=u′3u23=2x2(1−x3)4(1+x3)23\begin{aligned}
y'&=\frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}
=\frac{2x^2}
{\sqrt[3]{(1-x^3)^4(1+x^3)^2}}
\end{aligned}При x=−1+hx=-1+h имеем y(−1)=0y(-1)=0 иy(−1+h)h=1∣h∣2/3x2−x+11−x33,x=−1+h.\frac{y(-1+h)}h
=\frac1{|h|^{2/3}}\sqrt[3]{\frac{x^2-x+1}{1-x^3}},\qquad x=-1+h.Выражение под корнем стремится к (1+1+1)/(1+1)=3/2>0(1+1+1)/(1+1)=3/2>0. Поэтому отношение стремится к +∞+\infty, и конечной производной при x=−1x=-1 нет.
Демидович № 858 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика