Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 840

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

Задача 840

y=(xsin⁡α+cos⁡α)(xcos⁡α−sin⁡α)y=(x\sin\alpha+\cos\alpha)
(x\cos\alpha-\sin\alpha)
Ответ:y′=xsin⁡2α+cos⁡2αy'=x\sin2\alpha+\cos2\alpha

Решение

Идея

Угол α\alpha считаем постоянным. По правилу произведения
y′=sin⁡α(xcos⁡α−sin⁡α)+cos⁡α(xsin⁡α+cos⁡α)==2xsin⁡αcos⁡α+cos⁡2α−sin⁡2α==xsin⁡2α+cos⁡2α\begin{aligned}
y'&=\sin\alpha(x\cos\alpha-\sin\alpha)
+\cos\alpha(x\sin\alpha+\cos\alpha)=\\
&=2x\sin\alpha\cos\alpha
+\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\\
&=x\sin2\alpha+\cos2\alpha
\end{aligned}В последнем переходе использованы формулы двойного угла.
Демидович № 840 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика