Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 1. Производная явной функции

Демидович — задача 868

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти производную функции

y=\frac{\cos x}{2\sin^2x}

Ответ:

y'=-\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}, \qquad x\ne k\pi, \quad k\in\mathbb Z

Решение

Функция определена при

\sin x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne k\pi, \qquad k\in\mathbb Z

Представим функцию в виде произведения:

y=\frac12\cos x\,\sin^{-2}x

Тогда

\begin{aligned} y'&=\frac12\left(-\sin x\cdot\sin^{-2}x -2\cos^2x\sin^{-3}x\right)=\\ &=-\frac{\sin^2x+2\cos^2x}{2\sin^3x} =-\frac{1+\cos^2x}{2\sin^3x}\end{aligned}